师：同学们大家好，今天我们继续学习线段的轴对称性第二课时。先来回顾一下线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。很多时候，研究新定理时，我们可以把原有定理的条件和结论互换试试。那它的逆命题怎么写，又该如何证明呢？

　　首先分析，原定理条件是线段垂直平分线上的点，结论是这个点到线段两端的距离相等。所以逆命题是：到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上。大家能画出图形，写出已知、求证并证明吗？请按下暂停键思考。

　　根据分析，当点(Q)满足(QA = QB)时，点(Q)在线段(AB)的垂直平分线上。所以已知(QA = QB)，求证点(Q)在线段(AB)的垂直平分线上。尝试作图后会发现，利用三角形全等证明时，和线段垂直平分线性质的证明一样，要进行分类讨论。

　　一是若点(Q)在线段(AB)上。因为(QA = QB)，所以(Q)是线段(AB)的中点，进而可得点(Q)在线段(AB)的垂直平分线上。

　　二是若点(Q)在线段(AB)外。由第一种情况可知(AB)的中点在线段的垂直平分线上，要证明点(Q)在线段(AB)的垂直平分线上，只要连接(Q)与(AB)的中点(M)，证明(QM)垂直(AB)就行。因为(M)是(AB)的中点，所以(MA = MB)，又已知(QA = QB)，再加上公共边(QM)相等，可证明(\triangle QAM\cong\triangle QBM)。由三角形全等可得(\angle QMA = \angle QMB)，且(\angle QMA + \angle QMB = 180^{\circ})，所以(\angle QMA = \angle QMB = 90^{\circ})，即(QM\perp AB)，所以点(Q)在线段(AB)的垂直平分线上。这里我们采取了取中点证垂直的方法，有的同学也可以采取做垂直证平分的方法，也就是过点(Q)作(AB)的垂线，证明(AM = MB)。请同学们课后完成详细证明过程。

　　通过证明这个逆命题，我们得到了新定理：到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上。用符号语言表示为：因为(QA = QB)，所以点(Q)在(AB)的垂直平分线上。

　　下面我们用这个定理来解决例一。已知在(\triangle ABC)中，(AB)、(AC)的垂直平分线(L_1)、(L_2)相交于点(O)，求证点(O)在(BC)的垂直平分线上。

　　从结论出发分析，根据定理，要证点(O)在线段(BC)的垂直平分线上，只需证(OB = OC)。已知(AB)、(AC)的垂直平分线(L_1)、(L_2)相交于点(O)，所以(O)在(AB)的垂直平分线上，连接(OA)、(OB)，可得(OA = OB)，依据是线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。同理，连接(OC)可得(OA = OC)，所以(OB = OC)，进而点(O)在(BC)的垂直平分线上，依据是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

　　我们把分析过程整理一下：连接(OA)、(OB)、(OC)后，由点(O)在(AB)的垂直平分线(L_1)上，得到(OA = OB)，这是根据线段垂直平分线的性质定理；同理(OA = OC)，所以(OB = OC)。由这个特殊的数量关系，又得到点(O)在(BC)的垂直平分线上这一特殊位置关系，这里由特殊数量关系得到特殊位置关系依据的是逆定理。在使用过程中要注意区分这两个定理。

　　通过这个题目的证明，我们发现三角形三条边的垂直平分线交于一点。那钝角三角形、直角三角形是不是也有这样的结论呢？请同学们课后探索。

　　已知点(O)在线段(BC)的垂直平分线上，怎么作出(BC)的垂直平分线呢？根据两点确定一条直线，只要找到另一个点(Q)，使(QB = QC)，连接(QO)就行。我们可以用直尺和圆规来作图，下面通过动画看看如何用直尺和圆规作线段(AB)的垂直平分线：分别以点(A)、(B)为圆心，以大于(\frac{1}{2}AB)的长为半径作弧，两弧相交于点(C)、(D)，过(C)、(D)两点作直线，(CD)就是线段(AB)的垂直平分线。

　　看完这个作图过程，老师有两个问题：为什么要以大于(\frac{1}{2}AB)的长为半径作弧？为什么找两交点(C)、(D)时所作弧半径相同？