师：同学们，大家好。上节课我们类比线段的轴对称性，学习了角的轴对称性。现在先来回顾相关内容。线段垂直平分线的性质定理是：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，这是由点的特殊位置关系得到特殊的数量关系。使用时书写为：因为点(p)在(AB)的垂直平分线上，所以(PA = PB)。它的逆命题是：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，这是由特殊的数量关系得到特殊的位置关系。使用时书写为：因为(PA = PB)，所以点(p)在(AB)的垂直平分线上。

　　角平分线的性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等。这里特殊的数量关系与线段垂直平分线中的不同，是到角两边的距离，即点到直线的距离。书写时要注意不能漏掉垂直，是由角平分线加双垂直得到距离相等。它的逆定理是：角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上。同样，书写“因为”时也要加上垂直，是由双垂直加相等得到角平分。

　　接下来我们继续通过类比的方法研究角平分线。学习线段的轴对称性时，我们知道一个三角形三边的垂直平分线交于一点，那三角形三条角平分线是否也交于一点呢？请同学们动手画一个(\triangle ABC)，在(\triangle ABC)中用直尺和圆规分别作角平分线(AD)、(BE)，(AD)、(BE)相交于点(p)，再作角平分线(CF)。大家有什么发现？作出角平分线(CF)后，会发现点(p)也在角平分线(CF)上。根据图形，我们写出已知、求证，来证明这个发现。已知：如图，(\triangle ABC)角平分线(AD)、(BE)相交于点(p)，求证：点(p)在角平分线(CF)上。

　　从已知出发，(AD)、(BE)是三角形的角平分线。根据角平分线的性质，如果过点(p)分别向三角形三边做垂线，可得(PF = PN)，(PF = PM)，从而(PM = PN)，所以点(p)在角平分线(CF)上。下面把思路写成详细的证明过程。

　　首先过点(p)分别向三角形三边作垂线，注意叙述清垂足分别为(F)、(N)、(M)。因为(AD)平分(\angle BAC)，点(p)在(AD)上，所以(PF = PN)。这里要注意两点：第一，前面辅助线做法已提到(PF\perp AB)，(PN\perp AC)，所以此处无需重复叙述；第二，我们由平分加双垂直得到相等，依据的是性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。同理可得(PF = PM)。由(PF = PN)，(PF = PM)，所以(PM = PN)，所以点(p)在角平分线(CF)上。这里同样省略了双垂直这个条件，这步依据的是性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上。

　　再次提醒大家注意鉴别易混淆的定理。通过这个证明，我们知道三角形三条角平分线交于一点。如果将点(p)改为三角形两外角的平分线的交点，会有什么结论呢？通过观察不难发现点(p)可能在(\angle A)的平分线上。证明方法与前面类似。首先过点(p)分别向(\triangle ABC)三边所在的直线作垂线。由(PB)平分(\angle ABC)外角可得(PD = PE)，同理(PF = PE)。由这两个条件可得(PD = PF)，再加上前面所作的垂直，就可得到点(p)在(\angle A)的平分线上。在这个题目中，我们发现角(\angle ABC)的外角平分线上的点到角两边的距离相等。

　　由此也解决了上节课提出的问题：在逆定理的叙述中，为什么要加上“角的内部”这个前提。有了前面两个问题的解决经验，来看问题三。如图，(3)条笔直的公路将地面分成(7)块区域，是否存在到(3)条公路等距离的点？若存在，找出所有这样的点；若不存在，请说明理由。把它转化为数学问题，就是找到到三条直线距离相等的点，可分为在三角形内部与在三角形外部两种情况。在三角形内部，根据问题一的结论，只需作出两个内角平分线，就能找到到三条公路等距离的点(O_1)。在三角形外部，分别作出两个外角的角平分线，交点即为到三条公路等距离的点，依次找到(O_2)、(O_3)、(O_4)。综上所述，满足题目要求的点一共有四个，点(O_1)、(O_2)、(O_3)、(O_4)即为所求。

　　已知如图，(AD)是(\triangle ABC)的角平分线，(DE\perp AB)，(DF\perp AC)，垂足为(E)、(F)。求证(AD)垂直平分(EF)。请同学们按下暂停键尝试证明。

　　从要证明的结论入手分析，要证(AD)垂直平分(EF)，只需证点(A)、(D)都在(EF)的垂直平分线上，也就是要证(DE = DF)，(AE = AF)。已知(\angle1 = \angle2)，(DE\perp AB)，(DF\perp AC)，证明(AE = AF)时还缺少(\angle3 = \angle4)，所以只要证(\angle3 = \angle4)即可。这种从证明的结论出发，要证什么就找什么条件，缺什么补什么，最后达到命题已知条件的方法，是寻找解题思路的重要手段。证明的书写过程可从证(\angle3 = \angle4)入手，按照自下而上的顺序完成。下面看完整的证明过程。由垂直加上(\angle1 = \angle2)，根据等角的余角相等，可得(\angle3 = \angle4)。由垂直加上角相等，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到(DE = DF)，(AE = AF)。再根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，得到点(D)、(A)在(EF)的垂直平分线上，所以(AD)垂直平分(EF)。大家证明时是否利用了全等呢？在学习线段、角的轴对称性之前，利用三角形全等也能证明这个题目，但需要通过两次利用全等才能得到结论。而这两次三角形全等实际上就是我们所用到的角平分线的性质以及线段垂直平分线判定的证明。对于不同证明方法，同学们要思考它们之间的联系与区别，特别是在可以利用新知识时，不要再用全等证明一遍这个结论。