师：同学们，今天我们学习等腰三角形的轴对称性第三课时。上节课通过构造逆命题，我们探索研究并认识了等腰三角形的判定，证明了“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，简称“等角对等边” 。这是除定义外，判断一个三角形是等腰三角形的新方法，也是证明两条线段相等的重要依据。下面来看例2。已知如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC ，且AD∥BC。求证AB = AC。

　　根据等腰三角形判定定理，要证AB = AC ，只要证明∠B = ∠C 。已知∠EAD = ∠DAC ，所以只要证明∠EAD = ∠B ，∠DAC = ∠C 。而这两组角分别相等，可由AD∥BC证明。

　　以上思考与表述体现了由未知想已知的思路，要证什么，就要找什么条件，缺什么就靠拢已知条件，这是探索解决问题途径常用的思考方法。证明过程如下：

　　因为AD∥BC ，所以∠EAD = ∠B（两直线平行，同位角相等），∠DAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。

　　因为∠EAD = ∠DAC ，所以∠B = ∠C ，所以AB = AC（等角对等边）。

　　通过分析和证明，我们发现如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。刚才我们由AD平分∠EAC ，AD∥BC推出AB = AC ，如果已知AB = AC ，AD∥BC，你能证明AD平分∠EAC吗？

　　生：证明如下，因为AB = AC ，所以∠B = ∠C（等边对等角）。又因为AD∥BC ，所以∠EAD = ∠B ，∠DAC = ∠C ，所以∠EAD = ∠DAC ，即AD平分∠EAC 。

　　师：非常好。那如果已知AB = AC ，AD平分∠EAC ，那么AD平行于BC吗？尝试证明你的结论。

　　生：证明如下，因为AB = AC ，所以∠B = ∠C（等边对等角）。因为AD平分∠EAC ，所以∠EAC = 2∠EAD 。又因为∠EAC是△ABC的外角，所以∠EAC = ∠B + ∠C = 2∠B ，所以∠B = ∠EAD ，所以AD∥BC 。

　　师：很棒。我们发现，对于AB = AC 、AD平分∠EAC 、AD∥BC这三个条件，只要满足其中任意两个，都能推出第三个。

　　通过解决这一系列问题，我们进一步体会到构造一个命题的逆命题，也是获得数学结论的途径。

　　前几节课我们运用图形运动的方法探索了等腰三角形的性质。下面一起来操作：剪一张直角三角形纸片，按图1所示拿好，按照图2的方法折叠，再把纸片展平后，按图3的方法折叠。你们有什么发现呢？

　　生1：两条折痕与斜边相交于同一点。

　　生2：任何一个直角三角形都可以折成一个长方形。

　　生3：两条折线所在的直线分别是两条直角边的垂直平分线。

　　生4：我发现线段之间存在特殊数量关系，BD = CD = AD = 1/2 AB 。

　　师：非常好，那如何证明这个结论呢？通过操作过程回顾证明线段相等的方法，我们发现要证BD = CD ，只要证∠B = ∠BCD ；要证CD = AD ，只要证∠A = ∠ACD 。

　　因此我们可以在∠ACB内作∠BCD = ∠B ，CD与AB相交于点D 。根据等角对等边，可以证明DB = DC 。已知∠A + ∠B = 90° ，∠ACD + ∠BCD = 90° 。由等角的余角相等，可以知道∠ACD = ∠A 。所以DA = DC 。从而DA = DB = DC ，即CD是斜边AB上的中线，并且CD = 1/2 AB 。于是我们得到定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。符号语言：在Rt△ABC中，∠ACB = 90° 。因为点D是AB的中点，所以CD = 1/2 AB 。这个定理揭示了直角三角形斜边上的中线与斜边之间特殊的数量关系。