师：同学们，今天我们来学习三点一节勾股定理。在七年级，我们已学习过三角形的定义及表示，知道可按边和角为标准对三角形进行分类，还学习了三角形三边、三角之间的关系。到了八年级，我们开始研究特殊的三角形。上一章，我们学习了等腰、等边三角形中特殊的边角关系，并且能通过边角关系判断三角形的形状。这一章，我们继续研究一种特殊的三角形——直角三角形。以前的学习中，我们知道直角三角形角的特殊关系是两个锐角互余。那么，边的特殊关系是什么呢？

　　其实，这个问题在我国最早的一部数学和天文学著作《周髀算经》中就有记载。其中有一段对话，周公对古代伏羲构造历法的事迹感到不可思议，他说：“天上没有台阶，我们爬不上去；地上也没有刻着尺子，这些周天力度从何而来？”于是，商高以三边分别为三、四、五的直角三角形为例，说分别以长度为3、长度为4的边为边长做正方形，这两个正方形的面积之和，等于以长度为5的边为边长做的正方形的面积，都是25。这种算法在大禹治水的时候就有了。

　　我们把商高所说的图形放在网格中，请同学们计算一下这三个正方形的面积，看是否符合商高所说的关系。为方便描述，给这个直角三角形标上字母。先来计算以BC为边长的正方形的面积，通过网格可得它的面积为16。再来计算以AC为边长的正方形的面积，这个正方形面积等于9。那么，以AB为边长的正方形的面积怎么计算呢？

　　可能有同学这样算：将大正方形分割成四个全等的直角三角形，加上中间的一个小正方形。每个直角三角形的面积是3×4÷2，4个这样的直角三角形面积之和就是3×4÷2×4，再加上中间小正方形面积1，于是可算出以AB为边长的正方形面积是25。

　　还有同学可能这样算：将这个正方形向外补成一个更大的正方形，用大正方形的面积减去四个角上的直角三角形的面积，同样可得以AB为边长的正方形面积是25。

　　正如商高所说，9 + 16 = 25，这样一个边长为3、4、5的直角三角形，三边之间竟有这样的关系。其他直角三角形三边也满足这种关系吗？请同学们打开课本79页，在网格纸上任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边，向三角形外作正方形，仿照上面的方法计算这些正方形的面积。

　　同学们画的直角三角形可能是这样的：以BC为一边做的正方形面积是4，以AC为一边做的正方形面积也是4，以AB为一边做的正方形面积是8，满足4 + 4 = 8。

　　也可能是这样的：这里三个正方形的面积分别是9、4和13，依然满足9 + 4 = 13。

　　还可能是这样的：这里三个正方形的面积分别是16、4和20，16 + 4 = 20，同样满足这样的关系。当然，更有可能同学们画的图形老师没在屏幕上呈现出来，请大家也计算一下自己所画的三个正方形是否满足这样的数量关系，这些都是在网格中作图。

　　再看更一般的情况。老师构造了一个任意的直角三角形，分别以它的各边为一边，向外做正方形，用计算机算出了这三个正方形的面积。我们发现，当直角三角形改变时，这些正方形的面积也在改变。下面我们来计算一下这两个小正方形的面积之和是否等于大正方形的面积。

　　我们发现，对于任意一个直角三角形，两个小正方形的面积之和确实等于大正方形的面积。这时，同学们可能会想，也许锐角三角形和钝角三角形三边之间也满足这样的关系。那就请同学们看课本80页的问题。如图，三角形ABC和三角形DEF都不是直角三角形，从图中可看出，三角形ABC是锐角三角形，DEF是钝角三角形。分别以三角形ABC和三角形DEF的各边为一边，向三角形外部作正方形。其中两个小正方形的面积的和等于大正方形的面积吗？请按下暂停键，分别计算一下这些正方形的面积。

　　通过计算，以三角形ABC各边为一边向三角形外部作的三个正方形的面积分别是5、8和9，两个小正方形的面积之和是5 + 8 = 13，大正方形的面积是9，小正方形的面积之和不等于大正方形的面积。

　　再看三角形DEF。以三角形DEF各边为一边向三角形外部作的三个正方形的面积分别是9、18和45，这两个小正方形的面积之和是9 + 18 = 27，大正方形的面积是45，小正方形的面积之和也不等于大正方形的面积。通过这道题可知，三边之间满足这种关系的只有直角三角形。