师：同学们好，上节课我们学习了勾股定理的逆定理。在三角形ABC中，三边分别为a、b、c 。当∠C = 90°时，可得(c^{2}=a^{2}+b^{2}) 。反过来，如果三角形三边满足(a^{2}+b^{2}=c^{2})，那么∠C = 90°。这就是前几堂课所学的勾股定理和勾股定理的逆定理，它们条件和结论互换，我们称这样的定理为互逆定理。现在请同学们按下暂停键，快速完成下面两个小练习，并注意答题格式。

　　已知在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c 。当三边为下列长度时，请判断该三角形是否是直角三角形，并指出哪个角是直角。拿到这道题，我们可以先判断三条边中哪条边最长。如果两条短边的平方和等于最长边的平方，就能判定这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角。

　　第一小题，因为(c＞a＞b)，经计算(c^{2}=6.25)，(a^{2}=4)，(b^{2}=2.25)，所以(c^{2}=a^{2}+b^{2})，根据勾股定理的逆定理可得，三角形ABC是直角三角形，∠C = 90°。

　　第二小题，因为(b＞c＞a)，且(b^{2}=a^{2}+c^{2}) 。根据勾股定理的逆定理可得，三角形ABC是直角三角形，最长边b所对的∠B = 90°。同学们都解答正确吗？这两个练习中给出的三边数据都符合直角三角形三边关系，所以根据勾股定理的逆定理，能判断它们是直角三角形的三边。像5、12、13这样满足(a^{2}+b^{2}=c^{2})关系的三个正整数，我们称之为勾股数。

　　那么勾股数需要满足哪几个条件呢？来看定义。首先要满足(a^{2}+b^{2}=c^{2})关系，其次必须是正整数，满足这两个条件的三个数才能称作勾股数。你还能举出其他勾股数吗？请在草稿纸上试着写出几组。不知道同学们是否了解了勾股数的定义，老师来考考你们，下列各组数是勾股数吗？为什么？同学们可以按下暂停键快速作答。

　　要解决这个问题，一定要清楚勾股数必须满足两个条件，第一个条件是满足(a^{2}+b^{2}=c^{2}) ，第二个条件是必须为正整数。一起来看这里面有几组勾股数。

　　第一小题，因为(6^{2}+8^{2}=10^{2})，且这三个数都是正整数，所以6、8、10是一组勾股数。

　　第二题，显然(12^{2}+15^{2}≠18^{2})，所以这不是一组勾股数。

　　第三组，因为(7^{2}+24^{2}=25^{2})，7、24、25都是正整数，所以这是一组勾股数。

　　第四组，因为(8^{2}+15^{2}=17^{2})，三个数都是正整数，所以这是一组勾股数。

　　第五题，很多同学看到这道题会觉得简单，有同学会说：“老师我知道，因为(3^{2}+4^{2}=5^{2})，所以这是一组勾股数。”他的回答对吗？在这里，作为三角形三边，要看((3^{2})^{2}+(4^{2})^{2})是否等于((5^{2})^{2}) 。显然它们不相等，所以这不是一组勾股数。有没有同学掉进陷阱呀？

　　第六题。肯定也有同学说：“老师，因为(2^{2}+(\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{7})^{2})，所以它们是勾股数。”这个回答对吗？勾股数必须满足两个条件，一是(a^{2}+b^{2}=c^{2}) ，二是这三个数必须是正整数，所以这三个数不是勾股数。同理，(\frac{1}{3})、(\frac{1}{4})和(\frac{1}{5})这组数不是正整数，所以它也不是勾股数。

　　最后一题。因为(11^{2}+60^{2}=61^{2})，这三个数都是正整数，所以这也是一组勾股数。你做对了吗？同学们作答时，千万不要忽略勾股数的两个条件，第一满足(a^{2}+b^{2}=c^{2})关系式，第二三个数都是正整数。做错的同学可以看看忽略了哪个条件。

　　在同学们列举的勾股数中，有这么一组有意思的勾股数。如果继续写下去，你能写出第4组、第5组、第n组数吗？这三组数不仅满足两个数的平方和等于第三个数的平方，仔细观察还能发现什么规律呢？有同学说发现第一组数是3、4、5，第二组数分别是3、4、5的二倍，第三组数是3、4、5这三个数的三倍。那么以此类推，第n组一定是3n、4n、5n 。

　　既然这三组数都是勾股数，那么把3、4、5这组数同时扩大n倍，它们依然是勾股数吗？一起验证一下。首先((3n)^{2}+(4n)^{2}=9n^{2}+16n^{2}=25n^{2}=(5n)^{2}) 。也就是说这三个数满足(a^{2}+b^{2}=c^{2})关系式。在第n组数中，n取正整数，所以当把3、4、5同时扩大正整数倍，这三个数依然是正整数，即3n、4n、5n也是一组勾股数，任意一组勾股数的正整数倍还是勾股数。