师：今天我们来学习 4.1 平方根的第一课时。在前一章学习中，已知直角三角形两条直角边(a)和(b)，能借助勾股定理(a^{2} + b^{2} = c^{2})求出斜边长(c) 。比如两条直角边是(3)和(4)，根据勾股定理，(3^{2} + 4^{2} = 25 = 5^{2})，斜边长就是(5)。再如两条直角边长分别是(5)和(12)，(5^{2} + 12^{2} = 169 = 13^{2})，斜边长为(13)。那如果两条直角边是(8)和(15)，斜边是多少呢？

　　生：根据勾股定理，(8^{2} + 15^{2} = 289 = 17^{2})，斜边长是(17)。

　　师：如果是等腰直角三角形，两条直角边长都为(1)，斜边又是多少呢？

　　生：根据勾股定理，(c^{2} = a^{2} + b^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2)。

　　师：什么数的平方等于(2)呢？将这个问题一般化，就是求什么数的平方等于常数(a) 。如果用(x)表示这个数，问题就转化成已知(x^{2} = a)，如何求(x)的值，这就是我们今天要研究的平方根。首先明确本节课学习目标：了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根；了解开方和乘方是互逆运算，会用平方运算求一些非负数的平方根；能运用平方根解决一些简单实际问题。明确目标后，请大家用以往知识填空，并思考左边一栏和右边一栏的区别与联系，可暂停思考。根据之前学习经验，(3^{2} = 9)，(( - 3)^{2} = 9)，((\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4})，(( - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4})，(0^{2} = 0) 。通过左边运算可知，什么的平方等于(9)？

　　生：(\pm3)的平方等于(9)。

　　师：什么的平方等于(\frac{1}{4}) ？

　　生：(\pm\frac{1}{2})的平方等于(\frac{1}{4}) 。

　　师：什么的平方等于(0)？

　　生：(0)的平方等于(0)。

　　师：这些都是熟悉的平方运算，思考一下，有没有什么数的平方是负数，比如什么的平方等于(-3) ？

　　生：根据之前学习经验，平方具有非负性，不存在任何数的平方是负数。

　　师：观察这左右两栏，左边是乘方运算，某一个数的平方等于某一个数，通过左边能求出右边平方底下的数。这个问题就是已知某个数的平方求这个数，这就是平方根的概念。一般地，如果一个数的平方等于(a)，那么这个数就叫做(a)的平方根，也叫二次方根。根据平方的非负性，(a)应该大于等于(0) 。用符号语言表示，如果(x^{2} = a)（(a\geq0)），那么(x)就叫做(a)的平方根，也叫二次方根。比如，因为((\pm2)^{2} = 4)，所以(\pm2)就叫做(4)的平方根；((\pm3)^{2} = 9)，(\pm3)就叫做(9)的平方根；(0^{2} = 0)，(0)就叫做(0)的平方根。了解平方根概念后，思考下列各数有平方根吗？如果有，写出来，如果没有，说明理由，可暂停思考。

　　生：(9)的平方根是(\pm3)；((\pm4)^{2} = 16)，所以(16)的平方根是(\pm4)；(\frac{9}{25})的平方根是(\pm\frac{3}{5})；(0)的平方根是(0)。

　　师：观察这些具体数和对应的平方根，以及个数和符号，有什么发现？

　　生：可以将这些数按是否有平方根以及平方根个数分为正数、(0)和负数三类。正数有两个互为相反数的平方根；(0)的平方根是(0)本身；负数没有平方根。

　　师：这就是平方根的性质。回到前面问题，(2)是什么数？

　　生：正数。

　　师：(2)的平方根应该有几个？

　　生：两个，且互为相反数。

　　师：(2)的平方根究竟是多少呢？好像没有有理数的平方等于(2)，那该如何表示它？这里引进新符号“根号” 。最早用根号表示的是法国数学家笛卡尔，请大家暂停阅读了解根号的发展史，并在练习本上书写这个符号，注意上方横平与左边左勾的写法，多练习几次。根据平方性质，正数(a)的正的平方根，用“根号”表示，记作(\sqrt{a})，读作“根号(a)” ；负的平方根记作(-\sqrt{a})，读作“负根号(a)” 。所以正数(a)的两个平方根可记作(\pm\sqrt{a})，读作“正负根号(a)” 。回到课前问题，直角三角形两条直角边为(1)，斜边长是多少？也就是什么的平方等于(2)的问题，考虑实际问题，斜边可以用(\sqrt{2})表示。如果不考虑实际问题，什么的平方等于(2)呢？