8年级上册苏科版数学 3.3勾股定理的应用 逐字稿-3,725字
师：同学们好，前面几节课我们研究了勾股定理和勾股定理的逆定理。勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就，它为我们提供了直角三角形三边间的数量关系；其逆定理又为我们提供了判断三角形是否为直角三角形的依据。这些成果从古至今被广泛应用于数学和生活的各个方面。本节课，同学们和老师一起走进生活，感受勾股定理的伟大。
《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著。全书总结了战国秦汉时期的数学成就，是一本综合性的历史著作，也是当时世界上最简练有效的应用数学。在《九章算术》中记载着这样一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？” 这句话是什么意思呢？同学们先读题，尝试翻译一下。
生：这句话的意思是，一根竹子原高一丈，中部有一处折断，竹梢正好接触到地面，离竹根三尺远。请问折断处离地面有多高？
师：非常好。那么如何解决这个问题呢？我们先来尝试实景演示。这根竹子被折断后，竹梢恰好触地。我们把对应点标记出来，如果把折断部分看成一条线段，它的运动过程其实是绕着B点旋转，最后与地面构成了一个直角三角形。我们可以把折断后的竹子高度设为x。
那么折断部分的竹子BD应该等于BC，等于10减x。又因为触地处离竹子底部三尺远，也就是说AC等于3，那么直角三角形ABC的三条边我们就表示出来了。而根据勾股定理，直角三角形的三边满足关系式a2 + b2 = c2，我们就可以得到一个方程。让我们一起来看解题过程。
如图，三角形ABC为直角三角形，设AB为x尺，则BC等于10 - x尺。在三角形ABC中，AC = 3，由勾股定理得BC2 = AC2 + AB2，从而建立方程解得x。
让我们一起回顾一下思路，遇到实际问题时，要学会根据实物图形转化为几何图形。我们可以在图上标上条件，这样能帮助我们快速找到其中的直角三角形。根据勾股定理，我们可以建立方程来解决问题。同学们清楚了吗？
那老师再来考考你们，再送你们一道《九章算术》里的另一道古典名题“引葭赴岸”，你能用刚刚的经验来解决这个问题吗？我们还是首先要把题目翻译一下，你能理解题目所要表达的意思吗？让我们一起来看。
题目的意思是有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形。一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为一尺。如果把该芦苇沿着与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边。水深和芦苇长各是多少尺？
其实在这个实物图里，直角三角形非常明显。芦苇的顶部B点恰好碰到岸边的位置，也就是这个直角三角形的斜边为AB。
如果我们设水深为x，那么芦苇的长度就为x + 1，而直角三角形ABC中，芦苇到岸边的距离是多少呢？因为芦苇生长在池塘的中央，所以此时BC的长度应该为边长的一半，BC = 5。在直角三角形ABC中三条边满足勾股定理，我们就可以解决这个问题了。相信这样的题肯定难不倒你。
回顾这两道题的解题过程，我们遇到实际问题的时候，应该怎样去解决问题呢？
生：当我们遇到实际问题的时候，要学会根据实物图形转化为几何图形。如果不能很直接地找到其中的直角三角形，我们可以在图上标上已知条件，这可以帮助我们快速找到。然后再根据勾股定理建立方程来解决问题。
师：非常棒！同学们学会了吗？当然，勾股定理在数学中的应用更为广泛，让我们一起来看下面这个问题。
如图，AD是三角形ABC的中线，AD = 24，AB = 26，BC = 20，求AC。我们一起先来分析一下这个问题。如果要求AC的长度，按照以往的经验，应该怎样去考虑呢？
生：可以去找一条已知线段，使它等于AC的长度，这样就能求出AC的长。如果要证明两条线段相等，可以把这两条线段放在两个三角形中证明全等，或者放在一个三角形中证明是等腰。
师：在这个图里，如果要证明两个三角形全等，这两个三角形显然是三角形ABD和三角形ACD。那么在三角形ACD中我们已知AD和CD两条边，而第三条边是我们要求的长度。如果要证明这两个三角形全等，我们还需要再找一个角，也就是AD和CD的夹角。那么如果要证明角ADB = 角ADC，其实就是要证明角ADB = 90°。
如果我们把AB和AC放在一个三角形中，我们可以根据垂直平分线的性质。如果能够证明AD是BC的垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，我们也可以证明AB = AC。可是如果要说明AD是线段BC的垂直平分线，我们同样要证明角ADB = 角ADC = 90°。
也有同学说我们也可以通过计算来求出AC的长。如果我们能够说明三角形ACD是直角三角形，根据勾股定理，我们也可以计算出线段AC的长度。要说明三角形ACD是直角三角形，还是要说明角ADC = 90°。我们从不同的角度出发，最终找到了一个共同的突破点，说明角ADB = 90°，同学们清楚了吗？你可以尝试着在练习本上写下这道题的解答过程。这是选择几何的方法来解决这个问题。