师：同学们好，今天这节课我们继续研究勾股定理。在生活中，直角或直角三角形随处可见。但在古代，没有尺、圆规、量角器等作图工具，人们要怎么画直角三角形呢？古埃及人在建造金字塔时就面临这个问题，他们是如何得到直角的呢？大家先自己想一想，如果不借助任何工具，能画出标准的直角吗？

　　聪明的古埃及人想到一个办法，他们把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距和5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中最大的角便是直角。

　　师：按照这种方法，真能得到直角三角形吗？这个三角形三边是3、4、5，它们之间有怎样的数量关系？我们知道(3^{2}+4^{2}=5^{2})，这和我们刚探讨过的直角三角形三边关系很像。如果已知直角三角形两条直角边分别是3和4，根据勾股定理，能求出斜边是5。但反过来，以3、4、5为边长的三角形，能直接得出它是直角三角形吗？有什么方法验证一下？

　　生：可以用量角器量出最大角的度数。

　　生：可以找个直角，看看能否与三角形中的最大角叠合。

　　师：同学们的方法都很有道理，我们一起来动手验证。先做出三边长度为3厘米、4厘米、5厘米的三角形ABC。大家先按下暂停键，动手画一画。

　　师：好，我们一起来作图。先做出3厘米长的线段，以C为圆心，4厘米为半径画弧；再以B为圆心，5厘米为半径画弧，两条弧的交点就是点A，连接AC、AB，就得到三角形ABC。拿出量角器度量三角形ABC中的最大角C，我们会发现角C确实等于90度。也可以用叠合的方法验证，但选择叠合方法，需要找一个直角。还记得第一章学过，如果要证明两个角相等，可以证明这两个角所在的三角形全等。要是能找到一个直角三角形，使它和三角形ABC全等，是不是就能说明角C等于90度啦？

　　师：我们这样做，以3厘米和4厘米为直角边做直角三角形。先做出3厘米线段，过线段一个端点作垂线，在垂线上截取4厘米长度，这样就得到一个以3厘米和4厘米为直角边的直角三角形。根据勾股定理，能算出它的斜边为5厘米。同学们看看，这两个三角形全等吗？对，根据SSS定理，这两个三角形全等，所以它们的最大角相等，也能通过叠合来验证。看来以3、4、5为边的三角形真的是直角三角形，这是巧合吗？我们再找几个例子，以6、8、10为边长构成三角形，这个三角形是直角三角形吗？以5、12、13为边长构成的三角形呢？同学们按下暂停键，仿照刚刚的方法验证一下。

　　师：同学们得到答案了吗？这两个三角形依然是直角三角形，它们的三边长满足(6^{2}+8^{2}=10^{2})，(5^{2}+12^{2}=13^{2})。通过这几个例子，我们大胆猜测一个结论：如果三角形三边长分别为a、b、c，且满足(a^{2}+b^{2}=c^{2})，那么这个三角形一定是直角三角形。当然，这只是猜测，它一定正确吗？我们来证明一下。先把文字语言转换成数学语言，并在图形中表示出来。

　　师：要证明三角形ABC是直角三角形，是不是只要证明角C等于90度就行？仿照刚才的方法，构造一个直角三角形，使它和原来的三角形全等。大家自己动脑动手试一试。

　　师：我们来看证明过程，和老师的一样吗？先构造三角形A'B'C'，使角C'等于90度，且两条直角边分别为a和b。根据勾股定理，直角三角形A'B'C'的斜边A'B'的平方等于(a^{2}+b^{2})，所以A'B'的平方等于(c^{2})，A'B'就等于AB。在三角形ABC和三角形A'B'C'中，因为(BC = B'C')，(CA = C'A')，(AB = A'B')，所以三角形ABC全等于三角形A'B'C'，理由是SSS。角C等于角C'等于90度，三角形ABC是直角三角形。通过证明，我们发现猜想是正确的，现在可以把这个命题称为定理。它的条件是如果三角形三边分别为a、b、c，且满足(a^{2}+b^{2}=c^{2})；结论是这个三角形是直角三角形。转换成数学语言就是：因为(a^{2}+b^{2}=c^{2})，所以角C等于90度。