师：今天我们来学习 4.2 立方根。乐乐同学想制作一个体积为 27 立方厘米的正方体包装纸盒，那这个包装纸盒的棱长是多少呢？大家回顾一下正方体的体积与棱长的关系，还记得吗？小学我们就知道正方体的体积等于棱长的三次方。在这个问题里，3 的三次方等于 27，所以这个体积为 27 立方厘米的正方体包装纸盒，它的棱长就是 3 厘米。那如果这个正方体包装纸盒的体积为 64 立方厘米，它的棱长是多少呢？利用体积公式可知，4 的 3 次方等于 64，所以体积为 64 立方厘米的正方体包装纸盒，它的棱长应为 4 厘米。要是这个正方体的体积为 125 立方厘米，能求出它的棱长吗？我们知道 5 的三次方等于 125，所以此时正方体的棱长为 5 厘米。现在，如果正方体的体积为 200 立方厘米，它的棱长又是多少呢？根据正方体棱长与体积的关系，我们要找一个数，它的立方等于 200。如果令它的棱长为 x，问题就转化成求 x 的 3 次方等于 200 中的 x。可哪个数的立方等于 200 呢？好像没有一个有理数的立方等于 200，所以体积为 200 立方厘米的正方体的棱长似乎不能用有理数表示。

　　那如何求或者表示这个数呢？这就是我们今天要学习的立方根。首先明确本节课的学习目标：一、了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根；二、了解开立方与立方是互逆的运算，会用立方运算求一些数的立方根；三、能用立方根解决一些简单的实际问题。明确目标后，回到刚才的问题，要求 x 的 3 次方等于 200 中 x 的值，我们将其一般化，即求 x 的 3 次方等于 a 中 x 的值。这个学习过程和之前学平方根类似。同样，把这个 x 叫做 a 的立方根。大家仿照平方根的概念，说说什么叫做立方根呢？

　　生：类比平方根的概念，把平方换成立方，如果 x 的三次方等于 a，那么 x 叫做 a 的立方根，也叫三次方根。

　　师：非常好。例如 3 的三次方等于 27，3 就是 27 的立方根； - 3 的三次方等于 - 27， - 3 就是 - 27 的立方根；0 的三次方等于 0，0 就是 0 的立方根。可以发现，这里 a 作为某数的立方，它可以是正数、负数或 0，所以立方根概念中对 a 没有范围限制，a 可以是任意数。即如果 x 的三次方等于 a，x 就叫做 a 的立方根，也叫三次方根。

　　明确了立方根的概念，回到 x 的 3 次方等于 200 这个问题，x 的值是多少呢？对于这类无法用有理数表示的数，我们用符号表示，数 a 的立方根用三次根号 a 表示，读作三次根号 a，3 写在根号左上角，大家在练习本上写两个试试。

　　写好了吗？这里的 3 是根指数，不能省略，如果没有 3，就变成上节课学的算数平方根了。所以要注意根指数 3 一定不能省略。给大家举个例子，3 的三次方等于 27，3 是 27 的立方根，记作三次根号 27，化简后等于 3； - 2 的三次方等于 - 8， - 2 是 - 8 的立方根，记作三次根号 - 8，化简后等于 - 2；如果 x 的三次方等于 100，x 就是 100 的立方根，记作三次根号 100。类似于开平方的定义，求一个数的立方根的运算叫开立方。观察这组运算，左边是立方运算，右边是开立方运算，可见立方运算与开立方运算是互逆运算。

　　了解了立方根的概念及其表示，回到课前问题，体积为 200 立方厘米的正方体的边长可表示为三次根号 200。接下来求下列各数的立方根，大家按下暂停键思考一下。

　　第一小题，根据立方根概念，4 的三次方等于 64，64 的立方根表示为三次根号 64，化简后为 4。

　　第二小题，求 - 8 / 125 的立方根，就是求哪个数的立方等于 - 8 / 125。大家要熟悉一些简单立方数，我们知道 - 2 / 5 的三次方等于 - 8 / 125，所以 - 8 / 125 的立方根表示为三次根号 - 8 / 125，化简后为 - 2 / 5。

　　第三小题，根据立方根概念，9 的立方根就是三次根号 9，无法进一步化简。

　　第四小问，先把带分数化为 27 / 8，问题就转化为求 27 / 8 的立方根，27 / 8 的立方根表示为三次根号 27 / 8，因为 3 / 2 的三次方等于 27 / 8，所以可进一步化简为 3 / 2。这里要再次强调，一定要明确立方根的概念及三次根号的表示方式。