师：今天我们来学习 4.1 平方根的第二课时，首先明确本节课的学习目标。一、了解算数平方根的概念，会用根号表示数的算数平方根。二、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。三、能运用算术平方根解决一些简单的实际问题。

　　了解了本节课的学习目标之后，我们进入今天的学习。上一节课我们利用直角三角形的三边关系研究了平方根的相关知识。本节课我们继续回到这个直角三角形中来。

　　已知直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么利用勾股定理算出 (c^{2}=3^{2}+4^{2})，即 (c^{2}=25)。根据上一节课所学的知识，我们知道 (c) 就是 25 的平方根，25 的平方根可以表示成 (\pm\sqrt{25})，进一步化简之后也就是 (\pm5)。但是对于这个问题而言，直角三角形的边长需取正数，所以这个地方的 (c) 就应该取 25 的正的平方根，也就是 (+5)。

　　同样，比如说直角三角形的两条直角边长分别是 5 和 12。利用勾股定理，可以算出来 (c^{2}=169)，那么 (c) 就应该是 169 的平方根，记作 (\pm\sqrt{169})，也可将它化简为 (\pm13)。由于是实际问题，(c) 不能取负，所以在这个问题情境中，(c) 取值应该为 (+13)。

　　那么如果直角三角形的直角边分别是 6、7 或者 9、5，请仿照上面的叙述方式，能得到 (c) 值吗？我们可以同样利用勾股定理来求出 (c^{2}) 分别是 85 和 306。根据平方根的概念，我们知道 (c=\pm\sqrt{85}) 和 (\pm\sqrt{306})。回到这个实际问题中，(c) 的具体取值应该是 (\sqrt{85}) 和 (\sqrt{306})。

　　观察这些数据，我们发现在现实生活中，很多时候需要取正数的正的平方根。根据上节课的学习，我们知道一个正数的平方根有两个，一正一负互为相反数。而根据实际情况的需要，我们取正数的正的平方根。我们将这个正数的正的平方根称之为算数平方根。

　　来看一下算数平方根的概念：正数 (a) 有两个平方根，(\pm\sqrt{a})，我们将正数 (a) 的正的平方根 (\sqrt{a})，称之为它的算术平方根。注意这里取的是正的平方根。

　　给大家举个例子，比如说 4 的平方根是 (\pm2)，那么其中 (+2) 我们就称之为 4 的算术平方根。可以记作 (\sqrt{4}=2)，也就是取平方根中的那个正数。同样，2 的平方根记作 (\pm\sqrt{2})，无法进一步化简，其中的 (\sqrt{2}) 就叫做 2 的算术平方根。

　　上一节课我们知道正数和 0 都有平方根，这里我们将正数的正的平方根称之为这个正数的算术平方根。大家思考一下，0 有没有算数平方根呢？这里我们给一个规定，我们将 0 的平方根也叫做 0 的算术平方根，记作 (\sqrt{0}=0)。通过这一系列的概念整理，算数平方根的概念得到完善，包括 0 在内，它也有算数平方根。

　　了解了算数平方根的概念及其表示之后，请求下列这些数的算数平方根，先按下暂停键自己思考一下。

　　我们一起来看第一个问题，要求 625 的算术平方根。根据算术平方根的概念，需要求出 625 的平方根中的那个正的平方根。什么数的平方等于 625 呢？我们知道 (\pm25) 的平方等于 625，那么 625 的平方根记作 (\pm\sqrt{625})，但这里要求的是它的算术平方根，因此也可记作 (\sqrt{625})，所以 625 的算术平方根应该为 25。

　　再看第二个问题，要求 0.0081 的算数平方根。根据算数平方根的概念，需要求出 0.0081 的平方根中的那个正的平方根。什么数的平方等于 0.0081 呢？显然是 (\pm0.09) 的平方等于 0.0081，但这里要求的是它的算术平方根，所以取平方根中的正的平方根 (\sqrt{0.0081})，整理后可知 0.0081 的算数平方根是 0.09。

　　同样，根据算数平方根的概念，7 的算数平方根是 (\sqrt{7})，无法进一步化简。

　　看一下第四个，这里 (( - 4)^{2}) 还未整理到最终形式，要先进行简单运算，(( - 4)^{2}=16)，那么这个问题就转化成了求 16 的算术平方根。根据算数平方根的概念，16 的算数平方根记作 (\sqrt{16})，也就是 (+4)。

　　通过这 4 个问题，再次强调一定要明确算数平方根的概念。明确了这些问题之后，请判断下面这些说法是否正确，如果不正确，请说明理由，先按下暂停键思考一下。

　　我们一起来看第一个问题，“25 的算术平方根是 (\pm5)”，这个说法错误。根据算术平方根的概念，求的是 25 的平方根中的正的平方根，应该是 (\sqrt{25}= + 5)。

　　第二个“6 是 36 的算术平方根”，这句话正确。因为 36 的平方根是 (\pm6)，算数平方根取正的那个，即为 (+6)。

　　第三个“负 64 的算数平方根是 8”，这句话错误。上一节课我们已经知道没有任何数的平方是负数，负数没有平方根，所以它也没有算数平方根。

　　第四个“0.01 是 0.1 的算数平方根”，这句话错误。若 0.01 是 0.1 的算数平方根，那么 0.01 的平方应该等于 0.1，显然不成立。要使这个问题正确，需交换两个数据顺序，即 0.1 的平方等于 0.01，所以 0.1 是 0.01 的算术平方根。这里要特别注意带有小数的情况。

　　第五个“(\sqrt{81}) 的算术平方根是 9”，这句话也是错的。这个问题和刚刚例题中的第四个类似，首先要注意 (\sqrt{81}) 指的是 81 的算术平方根，81 的算术平方根是 9，那么问题就变成了 9 的算术平方根是 9 吗？显然，9 的算术平方根是 3。通过这几个问题，再次提醒大家注意算数平方根概念的本质。

　　请大家思考一下，算数平方根一定是正数吗？带着这个问题完成下列填空，先按下暂停键思考一下。

　　我们一起来看，第一个，正数的算术平方根是什么？我们知道正数的平方根有两个，一正一负互为相反数，而算数平方根取的是正的平方根，所以正数的算数平方根存在且唯一，并且是正数。

　　第二个，0 的算术平方根，通过前面的规定，0 的算术平方根就是它的平方根，即 (\sqrt{0}=0)。

　　第三个，上一节课我们知道没有数的平方是负数，所以负数没有平方根，进而负数也没有算数平方根。

　　那么算数平方根等于它本身的数是什么呢？通过前面的填空，发现算数平方根等于它本身的数应该是 0 和 1。

　　通过以上内容，我们发现任何一个非负数的算术平方根都是存在且唯一的，并且本身也是非负的。所以对于算数平方根 (\sqrt{a}) 而言，它具有双重非负性。由上一节课平方根的知识，我们知道 (a\geq0)，同时通过这节课的探究，又发现 (\sqrt{a}\geq0)，即 (\sqrt{a}) 具有双重非负性。