师：今天我们来学习 4.3 实数的第二课时，首先明确本节课的学习目标。一、了解有理数的运算在实数范围内仍然适用；二、能用有理数估计一个无理数的大致范围；三、能利用计算器比较实数的大小，并进行实数的四则运算。明确目标后，我们开始今天的学习。

　　上节课我们再次经历数系的扩充，知道有理数和无理数统称为实数。七年级学习有理数时，我们陆续学习了有理数的绝对值、相反数、倒数的相关概念。大家回顾一下，有理数的绝对值、相反数以及倒数的概念是什么呢？可以暂停思考一下。

　　生：（思考后回答）七年级我们学过，数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值；符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数；乘积为 1 的两个数互为倒数。

　　师：很好，下面用具体的数来温习一下。3 的绝对值是 3，3 的相反数为 -3，3 的倒数为 1/3； -1/5 的绝对值为 1/5，-1/5 的相反数为 1/5，-1/5 的倒数为 -5；4/7 的绝对值为 4/7，4/7 的相反数为 -4/7，4/7 的倒数为 7/4。那么无理数的绝对值、相反数和倒数分别是什么呢？比如根号 2 的绝对值、相反数、倒数分别是什么？

　　生：（思考后回答）根号 2 的绝对值，表示数轴上表示根号 2 的点与原点的距离，所以根号 2 的绝对值等于根号 2；根据相反数概念，根号 2 的相反数是负根号 2；根据倒数概念，根号 2 的倒数是 1/根号 2 。

　　师：没错，实际上有理数的绝对值、相反数、倒数的意义，以及有理数大小比较的方法、运算性质、运算律，在扩充后的实数范围内仍然适用。了解这些概念后，请完成下面这个表格，可以暂停先思考。

　　（学生完成表格后）

　　师：我们一起来看。根据绝对值、相反数和倒数的相关概念，根号 2.5 的绝对值是根号 2.5，相反数是负根号 2.5，倒数是 1/根号 2.5 ，这个后续会学习化简；负 π 的绝对值是 π，相反数是 π，倒数是 -1/π ；三次根号 9 的绝对值是三次根号 9，相反数是负的三次根号 9，倒数是 1/三次根号 9 。如果实数 a 大于 0，它的绝对值就是 a，相反数是 -a，倒数是 1/a；如果 a 小于 0，它的绝对值等于它的相反数 -a，相反数还是 -a，倒数是 1/a ，这里要注意 a 的正负问题。这就说明了有理数的绝对值、相反数和倒数的意义在实数范围内仍然适用。

　　下面回忆一下，两个有理数是如何比较大小的呢？

　　生：七年级学过，可以借助数轴或者绝对值来比较大小。在数轴上，右侧的数总是大于左侧的数；两个正数比大小，绝对值大的正数大；两个负数比大小，绝对值大的负数小；也可采用两个有理数做差与 0 比较大小，或者做商与 1 比较大小的方式来比较。

　　师：非常好，那么如何比较一个无理数与有理数的大小呢？例如，如何比较根号 5 与 2.5 的大小？这里有几种方法。方法一是通过估算无理数的大小，将其转化为比较两个有理数的大小。因为 2.3 的平方是 5.29，所以根号 5 小于 2.3，进而根号 5 小于 2.5 。方法二是利用平方的方法，若 a 大于 0，b 大于 0，且 a 方大于 b 方，那么 a 大于 b 。这里根号 5 的平方等于 5，2.5 的平方等于 6.25，6.25 大于 5，所以根号 5 小于 2.5 。同样，我们也可以借助数轴来比较大小。利用上节课的作图法，借助两直角边分别为 2 和 1 的直角三角形构造长度为根号 5 的线段，以原点为圆心，根号 5 的长为半径画弧，弧交数轴正半轴于点 A，点 A 所表示的数就是根号 5 。与数轴上表示 2.5 的数比较，发现数轴上表示 2.5 的数在表示根号 5 的数的右侧，所以根号 5 小于 2.5 。

　　通过这些方法能比较两个实数的大小，那么如何比较二分之根号 5 减 1 与 0.5 的大小呢？仿照刚刚的方法，先用估测法，根号 5 大于 2，所以根号 5 - 1 大于 2 - 1，即根号 5 - 1 大于 1 。利用不等式性质，不等式两边同时除以 2，不等号方向不变，所以二分之根号 5 - 1 大于 1/2，也就是二分之根号 5 - 1 大于 0.5 。

　　再观察这两个数，0.5 等于 1/2 ，只要比较分子根号 5 - 1 与 1 的大小就行。因为根号 5 - 1 大于 1 ，所以直接得到二分之根号 5 - 1 大于 1/2 ，即二分之根号 5 - 1 大于 0.5 。

　　除此之外，还有其他方法吗？有理数比较大小可以用做差法与 0 比较大小。在方法 2 中发现这两个数分母相同都是 2，也可以用做差法比较这两个实数的大小。二分之根号 5 - 1 - 1/2 等于二分之根号 5 - 1 - 1/2 ，拆项后等于二分之根号 5 - 1 。因为根号 5 大于 2，所以二分之根号 5 大于 1 ，进而二分之根号 5 - 1 大于 0 ，所以根据做差法可知二分之根号 5 - 1 大于 0.5 。