师：今天我们来学习 4.3 实数的第一课时，首先明确本节课的学习目标。一、了解实数的概念，知道无理数客观存在，会判断一个数是有理数还是无理数。二、知道实数与数轴上的点一一对应。

　　这里有一个直角边均为 1 的直角三角形，那么它的斜边长(A_1)等于多少呢？根据勾股定理，斜边(A_1)的平方等于(2)。由于实际问题的需要，此处取(2)的算术平方根，即(A_1 = \sqrt{2})。

　　现在以(A_1)为直角三角形的一条直角边，另一条直角边长度仍为(1)，做直角三角形(O A_1 A_2)，此时它的斜边(A_2)长度是多少呢？根据(A_1)的平方等于(2)，利用勾股定理，可知(A_2)的平方等于(3)。由于实际问题的需要，此处(A_2)的长度应取(3)的算术平方根，即(A_2 = \sqrt{3})。

　　继续以(A_2)、(A_3)、(A_4)分别为直角三角形的一条直角边，另一条直角边长度仍为(1)，构造直角三角形(O A_2 A_3)、(O A_3 A_4)和(O A_4 A_5)。请仿照刚刚的求解方式，试计算出(A_3)的平方、(A_4)的平方和(A_5)的平方，你能说出(A_3)、(A_4)、(A_5)的值吗？

　　生：由勾股定理可知(A_3)的平方、(A_4)的平方、(A_5)的平方分别为(4)、(5)、(6)。根据实际问题的需要，(A_3)、(A_4)、(A_5)分别为(4)、(5)、(6)的算术平方根，所以(A_3 = \sqrt{4} = 2)，(A_4 = \sqrt{5})，(A_5 = \sqrt{6})。

　　师：这些数都无法进一步化简，观察(A_1)、(A_2)、(A_3)、(A_4)、(A_5)的值，它们都是有理数吗？还记得有理数的概念吗？

　　生：通过七年级的学习，我们知道能够写成分子、分母都是整数的分数形式的数，就叫做有理数，其中包括有限小数和无限循环小数。

　　师：这些数都是有理数吗？借助计算器算一下它们的值，观察根号(2)、根号(3)、根号(5)、根号(6)的值。发现它们是无限不循环小数，不能用刚刚所说的分数形式表示。为了生活需要，人们引进负数，由原来的正数和(0)扩充为有理数。通过刚刚的探究，发现一些数无法用分数表示，是无限不循环小数，我们把无限不循环小数叫做无理数。相信大家对这个概念并不陌生，七年级第二章就学习过无理数的概念。思考一下，还知道哪些数是无理数？

　　生：常见的无理数有三类。一是圆周率(\pi)，即含有(\pi)的一类数，例如(\pi)、(\frac{\pi}{2} + 1)等，要注意(\frac{\pi}{2})虽然有分数线，但它是无理数。第二类是类似于刚刚探究的开方开不尽的数，比如根号(2)、根号(3)、根号(5)等。还有一类是人为构造的有一定规律但不循环的无限小数，像(0.1010010001······)，每两个相邻的(1)之间多一个(0)；(0.12345678910111213······)这样有规律无限构造下去但不循环的无限小数。

　　师：我们将有理数和无理数统称为实数。七年级学习时，有理数按照定义可分为整数和分数，按照性质符号可分为正有理数、(0)和负有理数。学习实数概念后，能将实数进行分类吗？分类标准是什么？

　　生：按照数的定义，实数可分为有理数和无理数。有理数进一步分为整数和分数，整数分为正整数、(0)和负整数，分数分为正分数和负分数。无理数分为正无理数和负无理数。根据定义，有理数可表示为有限小数或循环小数，无理数是无限不循环小数。

　　师：除按定义分类，还可按性质分类。按性质分类，实数分为正实数、(0)和负实数。正实数进一步分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数。分类标准不同，分类方法不同，但都要做到不重不漏，注意(0)既不是正数也不是负数。明确实数分类后，把下列各数填入相应括号内。

　　生：负的根号(9)的绝对值表示(-3)的绝对值，即(3)，(3)是有理数，也是整数，所以负的根号(9)的绝对值应放在有理数和整数的括号内，要保持数据原有的形式，并用逗号分隔。三次根号(5)无法进一步化简，应放在无理数括号内。根号(64)是(64)的算术平方根，为(8)，应填在有理数和整数括号内。(\pi)根据定义在无理数括号内。(0.6)的循环是无限循环小数，应放在有理数和分数括号内，因为无限循环小数可化为分数。(-\frac{3}{4})既是有理数，又是负实数，也是分数，要放到这三个括号内。(0)是有理数，也是整数，(3)也是有理数和整数。(0.13)既是有理数，也是分数。三次根号(-9)无法进一步化简，是无理数，负号可放到根号外面为负的三次根号(9)，所以三次根号(-9)应放在无理数和负实数括号内。