师：同学们好，在本章我们了解并探究了勾股定理及其多种证明方法。勾股定理反映了自然界基本规律，揭示了直角三角形三边关系，紧密结合了形与数。同时，我们还探究了勾股定理及逆定理的证明过程，发现其在生活和数学内部应用广泛。勾股定理的研究过程体现了多种数学思想，像数形结合思想，还有转化思想、方程思想以及分类讨论思想等等。本节课，老师将带着同学们从数学角度，探寻勾股定理及其应用中蕴含的数学思想。我们先从赵爽的弦图谈起。

　　2002年，第24届国际数学家大会在北京召开，大会会标就是中国古代的赵爽弦图。三国时期的赵爽为证明勾股定理作勾股圆方图，即弦图。按照其证明思路，可涵盖所有直角三角形，是极具东方特色的勾股定理无字证明法。现在我们一起来回顾赵爽的证明过程，同学们回忆起来了吗？假设这个直角三角形三条边分别为a、b、c 。根据赵爽的证明，我们能用割补方法将图形重新整合。在弦图中，大正方形面积是c2 ，同时它又可看成是4个直角三角形与一个小正方形的面积和，由此得到一个等式并化简，进而得到勾股定理。这就是我们熟悉的弦图，确切说是内弦图。既然有内弦图，那必然有外弦图，对吧？我们来看外弦图示例。

　　在外弦图中，大正方形边长可看成是a + b。大正方形面积等于4个直角三角形面积加上小正方形面积，同样能证明勾股定理。在内弦图和外弦图的证明过程中，我们都采用割补方法，分别表示出不同形式下图形的面积，依据它们面积间的关系，得出直角三角形三边的数量关系。这个过程充分体现了数学中的数形结合思想。

　　美国的总统加菲尔德看到外弦图后，提出一个想法：把外弦图中小正方形的对角线连起来，这样就把外弦图分隔成两部分，同样可利用面积关系得到勾股定理的表达式，这就是著名的总统证法。这几种方法很好地体现了数学中的数形结合思想，值得大家好好体会。现在请同学们利用所得经验，解决下面这个问题。

　　如果图中大、小正方形面积分别为52和4，那么一个直角三角形两直角边的和等于多少？解决这道题应用的就是数形结合思想。我们令直角三角形两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么在这个弦图中，大正方形面积就等于c2 。根据勾股定理，c2 又等于a2 + b2 ，小正方形面积等于大正方形面积减去4个直角三角形的面积，这也是我们刚刚利用弦图证明勾股定理过程中一直在用的。根据这两个关系，可得到ab的乘积等于24。看到a2 + b2 ，又看到ab，很多同学会联想到完全平方公式。所以(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = 100。

　　因为a、b分别是直角三角形的两条直角边，所以a + b一定大于0，那么a + b等于10。我们在证明勾股定理的逆定理过程中，学习了一种新方法——构造法。也就是说，如果要证明三角形ABC是直角三角形，就要证明∠C = 90° 。

　　如何证明∠C = 90°呢？图形中没有现成的角与之对应，这时我们可以构造一个直角，或者构造一个直角三角形，使它与已知的三角形ABC全等。像这样要证明一个图形具有某种性质，先构造一个具有这种性质的图形，再证明它与已知图形相同，这也是证明几何命题的一种方法。接下来我们通过一些例题感受这些问题中数学思想的应用。

　　第一题，在三角形ABC中，∠C = 90° ，c = 34，a : b = 8 : 15，求a和b的长度。看到已知条件a : b = 8 : 15，我们可设a = 8x，b = 15x，因为a和b是直角三角形的边长，规定x > 0。

　　在直角三角形ABC中，a2 + b2 = c2 ，这样我们就能得到一个关于x的方程。求解时注意，因为已给x规定范围，只要解出这个范围内的解即可。回顾本题，由于直角三角形三边满足a2 + b2 = c2 ，a、b是两个未知数，但它们满足a : b = 8 : 15的关系，我们用一个未知数分别表示出a和b，再根据勾股定理建立方程求解。