师：本节课我们来学习第四章实数小结与思考。请观察下图数轴上的点a、b分别表示什么数？它们是什么关系？由此能想到哪些数学概念与结论呢？

　　生：观察边长为1的正方形，根据勾股定理和算数平方根的定义，可知其对角线长为根号2，即半圆半径为根号2 ，OI = OB = 根号2。因为点I、B分别在数轴原点右侧和左侧，所以点I表示的数为根号2，点b表示的数为负根号2，它们到原点距离相等，符号相反，互为相反数。

　　师：实数是初中阶段我们认识的最大数集。之前学习的关于数的基本概念，如绝对值、相反数、倒数在实数范围内仍有意义。通过作图可知，除有理数外，无理数也能用数轴上的点表示，即每一个实数都能用数轴上的点来表示，数轴上每一个点对应一个实数，实数与数轴上的点一一对应。结合刚才的思考，我们来梳理一下本章所学。

　　本章我们认识了平方根与算数平方根、立方根、实数这三个概念，并研究了它们的性质。能进行简单计算，会估算实数并比较大小，会求近似值，还能用所学知识解决简单实际问题。同时，我们感受到了分类讨论、数形结合、转化方程等思想方法的魅力。温故而知新，下面请说出下列各数，哪些是无理数？哪些是有理数？判断时要注意，无理数常见情况有以下几种：一是化简后含π的数；二是开方开不尽的数；三是类似0.010010001这样有明显构造规律的无限不循环小数。还要注意，根号4/9化简后是2/3，属于有理数集合；8的立方根化简后是2，属于整数，也是有理数集合。

　　对于实数的分类，从定义角度可分为有理数和无理数，有理数又分为整数和分数；从性质角度可分为正实数、0和负实数。对数分类时要先化简再分类，且标准要统一，做到不重不漏。

　　请你求下面等式中x的值。第一题，需把x - 1看成一个整体，转化成求一个数平方根的问题。根据平方根定义，可得x - 1 = ± 。因为一个正数的平方根有两个，所以要分情况讨论，即x - 1 = 2或x - 1 = - 2，转化为两个一元一次方程，分别解得x的值为3或 - 1。像这种等号左面是一个整体的乘方，等号右面是常数的方程，可借助整体思想转化为求平方根的问题来解决。

　　下面请观察第二道题目，它和第一道题目有相似之处吗？能转化成形如第一道题目的形式吗？此时要把x - 3看成一个整体，通过移项、系数化为1，得到(x - 3)3 = 8，进而转化为求8的立方根的问题，即x - 3 = 2，解得x = 5。遇到新问题，我们常把它转化成熟悉的问题，与已学知识建立联系来解决。本道题目主要用到了整体思想、转化思想和分类讨论的思想。下面请回忆一下平方根、立方根还有哪些性质特点以及注意事项，完成表格。

　　要特别提醒的是，一个实数的立方根只有一个，它们一一对应；一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根还是0。所以在平方根的表达式中，被开方数a应该大于等于0。其中正的平方根称为算术平方根，要注意算术平方根与平方根的区别。由于算术平方根的被开方数a是非负的（a ≥ 0），其结果也是非负的（算术平方根≥ 0），所以说算数平方根具有双重非负性。下面利用相关性质来解决问题。已知x - y + 3的算数平方根与x + y - 1的算数平方根互为相反数，求代数式(x - 2y)2的平方根。

　　因为两个算术平方根互为相反数，且它们都是非负数，所以可推断出这两个式子同时为0，进而得出关于x、y的二元一次方程组：x - y + 3 = 0，x + y - 1 = 0，解得x = - 1，y = 2。代入代数式(x - 2y)2 = 25，此代数式的平方根为±根号25 = ±5。

　　像这样，题目没给出明确信息时，需通过条件或结论与已有知识的联系，挖掘出隐含条件作为解题突破口。本题主要用到了算数平方根具有双重非负性这个隐含条件。请看看这道题目的隐含条件是什么？该如何解决？如果一个正数的两个平方根分别为a + 1和2a - 7，则这个数为多少？

　　因为一个正数的平方根有两个且互为相反数，所以a + 1与2a - 7的和为0，进而解得a = 2。要注意问题是求这个正数，所以把a = 2分别代入a + 1与2a - 7，算得它们的值为±3，进而得出这个正数的值为9。在题目中，我们通过挖掘隐含条件作为解题突破口，同时用到了方程思想与转化思想。请判断本题的计算过程是否正确。

　　（ - 根号3）2，它的意义是3的负的平方，根据平方根的定义可得结果是3。也可通过开平方与平方互为逆运算的关系进行化简，注意最后一个运算是平方，所以结果是非负的。根号（ - 3）2，它的意义是 - 3平方的算术平方根，根据运算顺序先平方，9的算术平方根是3。也可通过平方与开平方互为逆运算来解决，注意最后一步运算是求算数平方根，所以化简后结果也是非负的，即 | - 3 |，化简后等于3。所以本道题的解答过程是错误的，请把正确的解答过程写在练习本上。