师：亲爱的同学，今天我们一起学习12.3互异命题二。在已学过的命题中，请大家举出两个命题，它们不仅是逆命题，而且是真命题。比如“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行” ；再如“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行” 。

　　探究活动一：如图，如果AD平行EF，那么可以得到什么结论呢？根据两直线平行，同位角相等或内错角相等或者同旁内角互补，我们可以得到∠A = ∠BEF，或者∠A + ∠AEF = 180° 。如果∠EFC + ∠C = 180°，那么又可以得到什么结论呢？根据同旁内角互补两直线平行，我们可以得到BC平行EF。

　　第一小问中由平行这一特殊的位置关系，我们得到了同位角相等或同旁内角互补这一特殊的数量关系。第二小问，由同旁内角互补，我们推出了两直线平行这一特殊的位置关系。第三，证明AD平行于BC需要什么条件？需要∠A + ∠B = 180°，或者是∠D + ∠C = 180° 。由这三个小问，我们体会出图形特殊的位置关系与图形特殊的数量关系往往是相互决定的。

　　请看例一，证明平行于同一直线的两条直线平行。请同学们先回忆，要证明与命题图形相关的命题的基本步骤是：一、根据题意画出图形。二、根据命题的条件结论，再根据图形写出已知、求证。三、写出证明的过程。此命题它的条件是两直线平行于同一条直线，所以我们要画出三条直线，再根据两直线都要平行于同一条直线，我们写出已知：如图，a平行于b，c平行于a 。求证：b平行于c 。

　　分析：要证b平行于c这一特殊的位置关系，我们需要找到同位角或内错角或同旁内角之间特殊的数量关系，所以我们画一条直线d与a、b、c相交，从而构造出同位角，当然也可以构造内错角或同旁内角。要证b平行于c，就证∠2 = ∠3 。要证∠2 = ∠3，我们就证∠1 = ∠3，∠1 = ∠2 。那么我们可以根据条件a平行于c以及a平行于b推导而得。

　　下面我们书写证明的过程：

　　证明：作直线d，使它与a、b、c都相交。

　　因为a平行于b，所以∠1 = ∠2 ，理由是两直线平行，同位角相等。

　　因为a平行于c，所以∠1 = ∠3 ，理由是两直线平行，同位角相等。

　　所以∠2 = ∠3 ，等量代换。

　　所以b平行于c ，理由是同位角相等，两直线平行。

　　由此我们得到命题一：平行于同一直线的两条直线平行。符号语言书写成：因为a平行于b，c平行于a，所以b平行于c ，理由是平行于同一直线的两条直线平行。

　　由探究活动到例一的学习，我们可以体会到以下几点：一、图形特殊的位置关系与图形特殊的数量关系往往是相互决定的。二、证明与图形相关的命题我们需要分成三个步骤，画图、写已知求证、再证明。有时候我们需要学会逆向思维来体验条件与结论之间的关联。

　　请看课堂练习一：如图，AB平行CD，AB、DE相交于点G，∠B = ∠D 。请在括号里面填写推理的依据。

　　因为AB平行CD（已知），所以∠EGA = ∠D ，理由是两直线平行同位角相等。

　　又因为∠B = ∠D ，所以∠EGA = ∠B ，理由是等量代换。

　　所以DE平行BF，理由是同位角相等，两直线平行。

　　在上述推理中，我们运用了哪两个互逆的命题呢？是“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”。

　　已知直线a、b、c、d、e、f被直线b、f所截，∠b + ∠1 = 180°，∠2 = ∠3 。求证∠b + ∠f = 180° 。

　　分析：要证∠b + ∠f = 180°，就证AB平行于EF 。根据条件∠b + ∠1 = 180°，可以推导出AB平行于CD 。根据∠2 = ∠3，可以推导出CD平行于EF，那么进而可以推导AB平行EF 。

　　寻找好思路之后，我们书写证明的过程：

　　证明：因为∠b + ∠1 = 180°，所以AB平行CD，理由是同旁内角互补，两直线平行。

　　因为∠2 = ∠3，所以EF平行CD，理由是内错角相等，两直线平行。

　　因为AB平行CD，EF平行CD（已证），所以AB平行于EF，理由是平行于同一直线的两直线平行。

　　所以∠b + ∠f = 180°，理由是两直线平行同旁内角互补。