师：同学，昨天我们学习了多边形的内角和，先来复习一下。n 边形的内角和是什么呢？

　　生：n 边形的内角和是（n - 2）×180°。

　　师：很好。那我们利用这个公式来解决一个问题。如图，已知 AB∥CD，要证明∠BAE + ∠AEC + ∠DCE = 360°，怎么思考呢？七年级我们学过平行的性质，能不能用它来解决问题？

　　生：可以做 EF∥AB，因为 AB∥EF，AB∥CD，所以 EF∥CD。由 AB∥EF，可得∠A + ∠AEF = 180°；由 EF∥CD，可得∠C + ∠CEF = 180°。要求证的三个角就是这四个小角的和，180° + 180° = 360°。

　　师：非常好。那能不能利用多边形内角和来解决呢？我们可以做一条辅助线，做一条直线与 AB 和 CD 分别交于 M、N，这样就得到了一个五边形。五边形内角和是（5 - 2）×180° = 540°。而∠AMN 与∠MNC 的和，根据平行的同旁内角可得它们的和为 180°。所以要求证的三个角的和等于 540° - 180° = 360°。看来你掌握得很棒。接下来我们到一个新的实际背景看看。

　　这是一个五边形的公园，周围有几条小路，小明沿着小路逆时针跑步，从一个地方出发，沿 a、b 所在路线跑到 b，接着从 b 跑向 c，再从 c 跑向 d，从 d 跑向 e，从 e 跑回 a，跑完一圈。同学，小明从每一条路转到下一条路时，身体转的是什么角度呢？以 AB 这条路转向 BC 路为例，AB 如果不转弯会跑成一条虚线，转向 BC 转的是哪个角？

　　生：是∠2。

　　师：对，从 BC 转向 CD 就是∠3，从 CD 转向 DE 是∠4，从 DE 转向 AE 是∠5，最后是∠1。那朱老师问第二个问题，他跑完一圈身体转的角度之和是多少呢？

　　生：360 度。

　　师：很棒。其实一个人跑完一圈回到原来方向，肯定转了一圈，也就是这里∠1、∠2、∠3、∠4、∠5 的和等于 360 度。我们把这个实际问题抽象成平面几何图形，这是一个五边形，这五个角就是多边形内角的邻补角，在外面，我们给它们一个名称叫多边形的外角，它们的和就称为多边形的外角和。这里多边形的外角和是 360 度。那是不是所有多边形都有这样的性质呢？我们来探讨一下。同学，最简单的多边形是什么？

　　生：三角形。

　　师：对，我们来看三角形的外角，三角形的外角是三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。看这个图，三角形 ABC，如果把 BC 边延长到 D 点，CD 与原来的边 AC 夹的角∠ACD 就是三角形的一个外角。还有吗？比方说把 AC 延长到 E，CE 与原来的 BC 边所夹的角∠BCE 也是三角形的一个外角。同学，∠1 是三角形的外角吗？

　　生：不是，因为三角形的外角定义是一边与另一边的延长线的夹角，而∠1 是两边的延长线，不符合定义。

　　师：很好。四边形、五边形的外角也是一样。请看这个五边形 ABCDE，BF 是 AB 边的延长线，∠CBF 就是五边形的一个外角。像这样多边形的一边与另一边延长线所组成的角就叫做多边形的外角，这就是多边形外角的定义，记住了吗？那么五边形的外角有几个呢？回到刚才的图，这里转的角 1 到角 5，其实五边形到底有几个外角呢？比方说∠ABC 是一个内角，它的外角除了∠CBF 应该还有一个，因为一个内角的邻补角有两个。如图只画出了 5 个，为什么呢？因为每个内角的两个外角是互为对顶角，它们相等。在研究时我们每个内角处只取一个外角，把它们的和称为多边形的外角和。同学，要注意哦，正五边形有 10 个外角，但求外角和时我们只取 5 个，所以正 n 边形也是这样，它有 2n 个外角，但求外角和定义时是 n 个外角的和称为外角和。

　　我们来看，从最简单的三角形开始，三角形的外角和是不是像我们猜想的那样和五边形的外角和一样是 360 度呢？看这个三角形，我标出了三个外角，分别是∠ABD、∠BCE 和∠FAC，这三个外角的和是多少呢？怎么证明？

　　生：∠FAC 与∠BAC 是互为邻补角，它们的和是 180°；∠DBA 与∠ABC 的和是 180°；∠BCE 与∠ACB 的和是 180°，也就是有三对 180°，总和是 3×180° = 540°。而三角形内角和是 180°，所以外角和等于 540° - 180° = 360°。

　　师：非常好。四边形是不是也有这样的结论呢？这个图你能自己说一下吗？