师：同学们，大家好，今天我们继续学习多项式的因式分解。在前两节课的基础上，大家已经掌握了两种因式分解的方法，还记得吗？提公因式法和运用公式法。这里说的公式是平方差公式，不过除了平方差公式，还有一个重要公式——完全平方公式，它分为完全平方和与完全平方差公式。

　　如果把这两个公式反过来，大家观察一下，会得到这样两个等式。先看第一个红色等式：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$，这个等式左边有三项，其中两项是两数的平方和$a^2 + b^2$，另一项是这两数乘积的两倍。当加上两数乘积的两倍时，就可以写成两数和的平方。再看第二个等式，左边同样是三项，也有两数的平方和，减掉这两数乘积的两倍时，就能写成两数之差的平方，这是我们的第一个发现。另外，从左往右观察这两个等式，左边是多项式和差的形式，右边写成了乘积的形式，所以从左往右是因式分解。今天我们主要利用完全平方公式进行因式分解。

　　要用对完全平方公式，关键是快速找出公式中的$a$和$b$，借助这三个例子来找找题目中的$a$和$b$，大家先自己思考一下。

　　看第一个例子：$a^2 + 6a + 9$。$a^2 + 9$可以写成两数的平方和，即$a$的平方加上$3$的平方，$6a$能写成这两个数乘积的两倍，因为$6a$恰好是$3$乘$a$的两倍，符合完全平方公式的特征。对照公式，原本公式中的$a$还是$a$，原本公式中的$b$相当于这里的$3$，所以可以写成两数和的平方，即$(a + 3)^2$。

　　第二个例子：$m^2 - 12m + 36$。$m^2 + 36$是两数的平方和，是$m$与$6$的平方和，$12m$可以拆成这两数乘积的两倍，因为是减掉了这两数乘积的两倍，所以对照第二个公式写成两数差的平方。

　　第三个例子：$9x^2 + 6x + 1$。$9x^2 + 1$就是$3x$与$1$的平方和，$6x$可以拆成两倍的$3x$与$1$的乘积，满足完全平方公式的特征，按照完全平方公式，可以写成两数和的形式。

　　大家会找公式中的$a$和$b$后，再通过几个具体例子感受用完全平方公式因式分解的过程，大家先自己思考一下。

　　看第一个多项式：$x^2 + 10x + 25$，这个多项式有三项。$x^2 + 25$是$x$与$5$的平方和，$10x$可以看成是两倍的$x$乘$5$。为了更好对照公式，把$25$写成$5$的平方，$10x$写成$x$与$5$乘积的两倍的形式。这样一来，公式中的$a$相当于这里的$x$，公式中的$b$相当于这里的$5$，所以可以对照公式写成两数和的平方，即$(x + 5)^2$。