师：亲爱的同学，你好，今天我们一起来学习第十二章证明小结与思考。本节课从四个板块展开：一、紧扣概念，提炼主线；二、追根溯源，知史明智；三、聚焦问题，掌握方法；四、舒筋通络，深化认知。

　　本章我们学习了很多概念，有定义、命题、真命题、假命题、互逆命题、证明、基本事实和若干定理。这些零散的概念，能否通过梳理，让我们有更清晰完整的认知呢？我们一起来画思维导图。

　　在数学中，很多命题由条件和结论两部分组成。交换命题的条件和结论，可得到它的逆命题，每个命题都有逆命题，逆命题与原命题是一对互逆命题。如果命题的条件正确且能推出结论，那么这个命题是真命题，比如学过的定义、基本事实和已证明的定理，这些都是证明的依据。如果命题条件成立，但结论不总正确，这样的命题是假命题，只需举一个反例就能判断。

　　下面看看同学们是否掌握了。第一，判断下列句子是不是命题：1. 延长线段 AB 到点 C。生：它不是命题。2. 如果 a 等于 b，那么 a 的绝对值等于 b 的绝对值。生：它是命题。3. 三角形的最大内角大于 60 度。生：它是命题。

　　师：写出上述命题的条件和结论，并判断真假。

　　生：2 中条件是 a 等于 b，结论是 a 的绝对值等于 b 的绝对值，它是真命题。3 中条件是一个角是三角形中最大的内角，结论是这个角大于 60 度，它是假命题。

　　师：写出 2 中真命题的逆命题，并判断真假。

　　生：原命题逆命题为如果 a 的绝对值等于 b 的绝对值，那么 a 等于 b。反例：2 的绝对值等于 -2 的绝对值，但 2 不等于 -2，所以它是假命题。

　　师：证明是初中学习的新数学内容，是谁把我们领进证明的殿堂呢？是欧几里得，他开创性地用公理化方法建立数学演绎体系。让我们通过一段视频了解一下。公元前 7 世纪，古埃及诞生原始几何学，后流传至古希腊，但大多是零散知识碎片，公理与公理、证明与证明间联系性不强，公式和定理的论证说明也模糊不清，几何学知识体系混沌。随着社会经济发展，将几何学知识条理化、系统化，构成前后贯通的知识体系成为迫切任务。欧几里得经多年研究柏拉图数学思想，尤其是几何学理论，敏锐察觉到几何学发展是大势所趋。他决定在有生之年归纳现存几何知识，建立学术思想架构。历经多次修改，《几何原本》问世。这本书涵盖近 400 多年数学发展历史，保存古希腊早期几何学理论，创立欧几里得几何学体系，是用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范，集前人思想与欧几里得个人创造性于一体，至今仍是各国教育经典教材，价值极高。

　　《几何原本》让欧几里得成名，获“几何之父”美誉，在他推动下，数学尤其是几何学受关注度大增，街头巷尾都谈论几何问题，亚历山大国王托勒密一世也来寻求捷径，欧几里得回答“在几何学里没有专为国王铺设的大道”，这体现了他对几何学的崇高敬意和纯粹科研精神。欧几里得从人们长期实践中总结出一些公认真命题作为公理。我们已学过一些公理，他主张从公理出发证明数学结论的正确性。这一章从基本事实出发，证明了哪些定理和推论呢？

　　证明这一章重点研究与图形有关的命题，一般步骤为：一、根据题意画出图形；二、根据命题条件、结论结合图形写出已知、求证；三、写出证明过程。本章主要研究了平行的判定与性质、三角形内角和定理及其推论。下面应用知识解决相关问题。请同学们按下暂停键先读题 B2。

　　生：已知角 a 等于角 f，可得到 DF 平行于 AC。角 1 和角 2 不是特殊位置关系的角，添加角 3 后两者关系可传递。同样，角 c 和角 d 的关系可通过添加角 4 传递。证明如下：因为角 1 等于角 2，角 1 等于角 3，所以角 2 等于角 3，所以 DB 平行于 EC，所以角 4 等于角 d。因为角 a 等于角 f，所以 DF 平行于 AC，所以角 4 等于角 c，所以角 c 等于角 d。