师：同学们，你们听过或见过海市蜃楼吗？夏天，在平静无风的海面上或沙漠中，远方天空会隐约出现亭台楼阁、集市庙宇，但这些都是虚幻景象。像这种眼见不为实的例子，生活中有很多，那数学学习中是否也有呢？接下来，请同学们看 PPT 上的两张图。在图一中，你们觉得有正方形吗？在图 2 中，你们觉得 AB 两条直线平行吗？我看同学们意见不一。面对这种情况，我们如何验证呢？有的同学觉得图一的四边形向内凹，图 2 中的两条线向外凸。

　　生：我们可以把干扰因素排除。

　　师：很好，有的同学提到把干扰因素排除。那老师现在把第一张图中的同心圆，第二张图中的直线全部去掉。现在大家能清晰看到，正方形和平行线确实存在，看来眼睛欺骗了我们。好，继续看，图 3 下面两张图中有两条线段 a、b 和 c、d 。请大家仔细观察，这两条线段哪条长一些呢？在刚刚眼见不为实的情况下，有的同学不太敢下判断了。那有什么方法能帮助我们做出较为准确的判断吗？

　　生：可以用刻度尺测量。

　　师：对，我们可以用刻度尺测量。大家试试。通过测量发现，两张图中 AB 和 CD 一样长，只是图一线段位置摆放不同，图 2 存在一些干扰因素，影响了我们的判断。所以说，眼见不一定为实，有时候眼睛也会说谎。

　　好，通过以上两个探究活动，大家有什么感悟呢？

　　生：观察、操作、实验是认识事物的重要手段，但仅凭这些不够。

　　师：同学们发表得都不错。是的，观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段。不过，要正式认识事物，不能单凭直觉，还需加以证实。接下来进行进一步活动探究。请看屏幕，长方形草地中间有一条笔直的小路，如图一，是长方形形状。如果把它改为处处一米宽的曲径，新的小路和图一的小路面积相等吗？仅凭观察似乎无法立刻判断，我们详细分析一下。先看图一。

　　由于图一这条小路是规则长方形，利用长方形面积计算公式，很容易得出面积为 b 平方米。而图 2 这条小路是不规则形状，在以前学习中，对于不规则图形，我们可以用割补法。在这里，把整个外围看成一个大长方形，然后移动右半部分草地，因为小路处处宽一米，通过平移发现，不规则的两片草地能拼成一个完整长方形。那么，用外围大矩形面积减去草地拼成的长方形面积，就能得到弯曲小路的面积。

　　进一步计算，我们惊喜发现，它的面积仍然是 b 平方米。通过精确计算，我们可以下结论，这两条小路面积相等。所以，我们不仅可以通过度量证实，还能通过一系列计算进一步判断结论。接下来看第二个活动，刚刚是图形问题，现在来看数字问题。当 x 等于 -5、 -0.5、0、2、30 时，分别计算代数式 x2 - 2x + 2 的值，并与同学们交流。

　　生：计算出五个答案，分别为 37、3.25、2、2、58 。

　　师：大家计算得又快又熟练。这 5 个数字是老师给的，你们自己再换两个数看看。通过 7 个数字比较，大家发现了什么呢？

　　生：最后的数据都是正数。

　　师：大家说得挺好，其中最集中的结论就是最后的数据都是正数。那如何证实这个结论呢？不同数字能得到一致结论，说明数字不同不影响结果，所以要从原代数式入手分析。大家观察这个代数式，熟悉吗？

　　生：这里面有完全平方公式的影子。

　　师：对，这里面有完全平方公式的影子。我们将原代数式配方，可以得到 (x - 1)2 + 1 。由于 (x - 1)2 大于等于 0 ，所以这个代数式的取值一定大于等于 1 。也就是说，不论 x 取什么值，答案都是正数，更精确地说，结果都是不小于 1 的数值。通过特殊数字代入计算，再对原代数式分析，进一步证实了我们的猜测结论。下面我们进一步看看，在判断过程中，如何进一步证实最初的判断。