师：同学们大家好，今天我们一起来学习 12.2 证明。首先回顾一下，在以往所学与图形有关的证明问题中，一般步骤是什么呢？第一步，根据题意画出图形；第二步，依据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证；最后一步，写出证明过程。现在，我们利用这个一般步骤来解决一个问题：如何证明两直线平行，同旁内角互补？

　　先分析题目中的条件和结论，条件是两直线平行，结论是同旁内角互补。根据这个条件和结论画出图形，在图形中找到 AB 平行 CD，要证明的是角 1 和角 2 互补。接下来，写出已知和求证：已知 AB 平行 CD，求证角 1 + 角 2 = 180 度。现在请同学们思考如何写出详细的证明过程。

　　我们发现，由角 1 和角 3 的关系可知角 1 与角 3 互补，而我们要求证角 1 与角 2 的和是 180 度。所以，如果能证明角 2 与角 3 相等，就能证明角 1 与角 2 的和为 180 度。详细证明过程如下：因为 AB 平行 CD，根据两直线平行，同位角相等，得到角 2 等于角 3；再利用平角的定义，可知角 1 与角 3 的和等于 180 度；最后通过等量代换，得出角 1 + 角 2 = 180 度，结论得证。

　　当两条直线 AB 和 CD 不平行时，它们相交所形成的图形是三角形。关于三角形的内角，小学时我们就知道三角形的三个内角和等于 180 度，那这个结论正确吗？今天我们就通过证明来验证。

　　首先，根据命题写出它的条件和结论。条件是在一个三角形中，结论是这个三角形的三个内角和等于 180 度。同学们在纸上画出三角形，结合图形，说出已知和求证：已知在一个三角形中，求证三个内角之和等于 180 度。由 180 度，我们能想到平角是 180 度，同旁内角互补和也是 180 度。也就是说，要证明三角形的三个内角和是 180 度，只需将角 A、角 B、角 C 搬在一起。

　　怎么搬在一起呢？老师将三角形的三个角沿中间的折线剪开，然后拼在一起，发现三个角拼在一起形成了一个平角，这是我们通过实践探索得到的猜测。但要证明这个结论，若根据题目将三个角搬在一起，还需添加作图方式，并证明所形成大角最外的两条边在一条直线上，这样证明有难度。所以，我们选择延长三角形 ABC 的其中一条边 BC，把角 A、角 B 想办法搬到以 C 为顶点的角处。将角 ACD 分割成两个角，分别证明所分割形成的角 1 和角 2 与另外两个角 A 和角 B 相等。

　　这里的线 CE 有特殊位置，为了利用平行转化证明角相等，我们过点 C 作 AB 的平行线 CE。这样，根据两直线平行，内错角相等，可将角 A 转化到和角 1 相等；同样因为 CE 和 AB 平行，根据两直线平行，同位角相等，可将角 B 转化成和角 2 相等，从而将三角形的三个内角转化到以 C 为顶点的角处，构造出角 BCD 这个平角。请同学们自行书写证明过程。

　　一起来看，这里的 CD 和 CE 称作辅助线，辅助线通常画成虚线，它能帮助我们把未知问题转化为已会的知识来解决。证明过程要提到辅助线的做法：首先作 BC 的延长线 CD，再过点 C 作 CE 平行 AB。因为 CE 平行 AB，所以角 1 与角 A 相等（两直线平行，内错角相等），同时角 2 和角 B 相等（两直线平行，同位角相等）。又因为角 1、角 2 与角 3 的和在图中是一个平角，根据平角的定义，三者之和是 180 度。最后利用等量代换，将角 1 与角 2 分别代换成角 A 与角 B，得到角 A + 角 B + 角 ACB = 180 度，依据是等量代换。由此证明了在三角形 ABC 中，角 A、角 B、角 C 的和确实是 180 度。

　　那还有其他方法证明三角形内角和为 180 度吗？其实，只要将三个角转化到以其中某一个角为顶点的角处，选定一个顶点后，做相应辅助线构造平角就可以。接下来看第二种方法，刚刚我们将角 A、角 B 转化到点 C 处，现在我们把角 A、角 B、角 C 转化到点 A 处。过点 A 作 BC 的平行线，利用平行转化等角。当 DE 和 BC 平行后，根据两直线平行，内错角相等，可将角 B 转化到角 E 处，角 C 和角 2 相等。这样就将三角形 ABC 的三个内角转化到角 1、角 BAC 和角 2，构成了平角 DAE。请同学们自行书写证明过程。

　　一起来观察，首先过点 A 作 DE 平行 BC，因为 DE 平行 BC，所以角 E = 角 B（两直线平行，内错角相等），同样可得角 C = 角 2。从图中的平角可知角 1 + 角 2 + 角 BAC = 180 度，通过等量代换，将角 1、角 2 分别代换成角 B、角 C，就能在三角形 ABC 中证得三个内角的和为 180 度。